Question

【题目】已知O为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，离心率，椭圆上的点到焦点的最短距离为．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设T为直线上任意一点，过的直线交椭圆C于点P,Q，且为抛物线，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由离心率和a,b,c的等量关系即可求得a,b，方程即可得出;(2) T为直线上任意一点，设，则，当时，直线的方程为，也符合方程． 当时，直线的斜率为，直线的方程为；将直线的方程与椭圆C的方程联立，利用韦达定理及弦长公式即可得出从而求得的表达式求最小值.

解：（1）而又，得，

故椭圆的标准方程为

（2）由（1）知，∵，故，设，∴，直线的斜率为，当时，直线的方程为，也符合方程． 当时，直线的斜率为，直线的方程为；设，，将直线的方程与椭圆C的方程联立，得消去，得：，，， ，

，

，

当且仅当，即时，等号成立．∴的最小值为．