Question

设等差数列{a_n}的前n项和S_n=2n²，在数列{b_n}中，b₁=1，b_n+1=3b_n（n∈N^*）
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}前n项和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（I）按照a_n与S_n的关系式即可求得a_n，注意验证n=1的情况；先判断{b_n}为等比数列，根据等比数列的通项公式即可求得b_n；
（II）由（I）易求c_n，利用错位相减法即可求得{c_n}的前n项和T_n．
解答：解：（Ⅰ）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=4n-2，
当n=1时，a₁=S₁=2，也符合上式，
∴a_n=4n-2，
∵b₁=1，b_n+1=3b_n，∴b_n=1•3^n-1=3^n-1；
（Ⅱ）c_n=a_nb_n=2（2n-1）•3^n-1，
∴T_n=c₁+c₂+c₃+…c_n=2+6•3¹+10•3²+…+（2n-1）•3^n-1①，
3T_n=2•3¹+6•3²+…+（2n-1）•3ⁿ②，
①-②整理可得，T_n=（2n-2）•3ⁿ+2．
点评：本题考查等差等比数列的通项公式及数列求和，考查错位相减法对数列求和，属于中档题．