Question

（2013•山东）设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}的前n项和为T_n且Tn+

an+1

2n

=λ（λ为常数）．令c_n=b_2n（n∈N^※）求数列{c_n}的前n项和R_n．

Answer 1

分析：（1）设出等差数列的首项和公差，由已知条件列关于首项和公差的方程组，解出首项和公差后可得数列{a_n}的通项公式；
（2）把{a_n}的通项公式代入Tn+

an+1

2n

=λ，求出当n≥2时的通项公式，然后由c_n=b_2n得数列{c_n}的通项公式，最后利用错位相减法求其前n项和．

解答：解：（1）设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，由a_2n=2a_n+1，取n=1，得a₂=2a₁+1，即a₁-d+1=0①
再由S₄=4S₂，得4a1+

4×3d

2

=4(a1+a1+d)，即d=2a₁②
联立①、②得a₁=1，d=2．
所以a_n=a₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1；
（2）把a_n=2n-1代入Tn+

an+1

2n

=λ，得Tn+

2n

2n

=λ，则Tn=λ-

2n

2n

．
所以b₁=T₁=λ-1，
当n≥2时，bn=Tn-Tn-1=(λ-

2n

2n

)-(λ-

2(n-1)

2n-1

)=

n-2

2n-1

．
所以bn=

n-2

2n-1

，cn=b2n=

2n-2

22n-1

=

n-1

4n-1

．
R_n=c₁+c₂+…+c_n=0+

1

41

+

2

42

+…+

n-1

4n-1

③

1

4

Rn=

1

42

+

2

43

+…+

n-1

4n

④
③-④得：

3

4

Rn=

1

4

+

1

42

+…+

1

4n-1

-

n-1

4n

=

1 4 (1- 1 4n-1 )

1- 1 4

-

n-1

4n

所以Rn=

4

9

(1-

3n+1

4n

)；
所以数列{c_n}的前n项和Rn=

4

9

(1-

3n+1

4n

)．

点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了数列的求和，训练了错位相减法，考查了学生的计算能力，属中档题．