Question

【题目】已知函数， .

（1）当时，证明：函数的零点与函数的零点之和小于3；

（2）若对任意， ， ，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析.（2）

【解析】试题分析：（1）分别确定函数的零点与函数的零点，由题意，易证明题意；

（2）对任意， ， 等价于两个函数值域的交集为空集，讨论的情况，明确函数的单调性得到其值域，列出不等式组，解得的取值范围.

试题解析：

（1）证明： 的零点为，当时， 的零点为0， ，

∵，且当时，0，∴，

∴函数零点与函数的零点之和小于3.

（2）解：当时， .

若， ，满足题意.

若， ，

当即时， 在上单调递增，∴，

∵，∴，

∴，即.

当即时， 在上单调递减，∴，

∵，∴，

∴满足题意.

当即时， ，

且，则,

∴，又，∴.

综上， 的取值范围为