Question

设0＜a＜1,定义a₁=1+a,a_n+1=+a,求证：对一切自然数n，有1＜a_n＜.

Answer 1

证明：用数学归纳法.当n=1时，a₁＞1,

又a₁=1+a＜,显然命题成立.

假设当n=k时，命题成立，即

1＜a_k＜.①

要证明n=k+1时，命题也成立，即

1＜a_k+1＜.②

要用①来证明②，事实上，由递推公式，知a_k+1=+a＞(1-a)+a=1,

同时，a_k+1=+a＜1+a=＜,这就证明了②.