题目内容

设0＜a＜1，根据函数的单调性定义证明函数f（x）=lognx+logxa在（1，
1a
）上是增函数．
分析：步骤：（1）设元x1、x2，设1＜x1＜x2＜
1
a
，
（2）作差：f（x1）-f（x2）=
log
x1
a
+
log
a
x1
-
log
x2
a
-
log
a
x2

（3）变形，应用对数运算性质，所有的对数式化为同底的，提取公因式，将式子变成因式乘积的形式，
（4）判断符号（正、负），得出结论．
解答：解：证明：设1＜x1＜x2＜
1
a
，
f（x1）-f（x2）=
log
x1
a
+
log
a
x1
-
log
x2
a
-
log
a
x2

=
log
x1
x2
a
（1-
1
log
x1
a
log
x2
a
）
由条件得：
log
x1
x2
a
＞0，

又∵-1≤
log
x1
a
、
log
x2
a
＜0，
∴0＜
log
x1
a
•
log
x2
a
＜1，
故 f（x1）-f（x2）＞0
∴在（1，
1
a
）上f（x）是增函数．
点评：本题考查证明函数单调性的方法步骤．
练习册系列答案
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设0＜a＜1，则函数的定义域为（ ）
A．
B．
C．（-1，1）
D．
设0＜a＜1，则函数的定义域为（ ）
A．
B．
C．（-1，1）
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设0＜a＜1，根据函数的单调性定义证明函数f（x）=lognx+logxa在（1，）上是增函数．

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