Question

设函数y=f（x）在（-∞，+∞）内有定义，对于给定的正数K，定义函数：fK(x)=

f(x) 1 f(x)

f(x)≤K   f(x)＞K

取函数f（x）=a^-|x|（a＞1）．当K=

1

a

时，函数f_k（x）值域是（　　）

• A、[0，

  1

  a

  ]∪[1，a)
• B、(0，

  1

  a

  ]∪[1，a]
• C、(0，1]∪[

  1

  a

  ，a)
• D、(0，

  1

  a

  ]∪[1，a)

Answer 1

分析：先求出新函数的分界值，在利用定义求出新函数的解析式，最后利用指数函数的单调性求出结论即可．

解答：解：当f（x）=a^-|x|＞

1

a

时，∵a＞1
∴|x|＜1，此时1≤f_k（x）=a^|x|＜a；
当f（x）=a^-|x|≤

1

a

时，∴|x|≥1，此时0＜f（x）=a^-|x|≤

1

a

；
综上函数f_k（x）值域是(0，

1

a

]∪[1，a)．
故选D．

点评：此题是个中档题．此题是在新定义下对函数单调性以及含的值域的综合考查．在作带有新定义的题目时，一定要先理解定义，再用定义作题．