Question

某校从参加高三年级期末考试的280名文科学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如右部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
（1）补全这个频率分布直方图；若达60分为极格，请估计这280名文科学生中的及格人数；
（2）用分层抽样的方法在分数段为[60，80）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[70，80）的概率．

Answer 1

分析：（1）频率分布直方图中，小矩形的面积等于这一组的频率，而频率的和等于1，可求出分数在[70，80）内的频率，即可求出矩形的高，画出图象即可；计算出60分以上的累积频率，可估算出这280名文科学生中的及格人数；
（2）根据分层抽样的抽样比，计算出分数段[70，80）的抽取人数，进而求出从样本中任取2人的所有基本事件个数及满足至多有1人在分数段[70，80）的基本事件个数，代入古典概型公式，可得答案．

解答：解：（1）分数在[70，80）内的频率为：
1-（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）×10=1-0.7=0.3
故该组在频率分布直方图中对应矩形的高为

0.3

10

=0.03
补全频率分布直方图如图所示：
及格的频率是（0.3+0.015+0.025+0.005）×10=0.75
故这280名文科学生中的及格人数约为280×0.75=210（人）
（2）由（1）得分数在[60，70）内的频数为0.015×60=9人，
分数在[70，80）内的频数为0.030×60=18人，
∵在分数段为[60，80）的学生中抽取一个容量为6的样本，
∴在分数段[60，70）中应抽取2人，分别记为（M，N）；在分数段[70，80）中应抽取2人，分别记为（A，B，C，D）
记从样本中任取2人，至多有1人在分数段[70，80）为事件A
则基本事件总数有

C

2 6

=

6×5

2×1

=15个，分别为：
（M，N），（M，A），（M，B），（M，C），（M，D）
（N，A），（N，B），（N，C），（N，D），（A，B），
（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，D）
事件A包含的基本事件有：

C

1 2

•

C

1 4

+

C

2 2

=2×4+1=9个，分别为
（M，N），（M，A），（M，B），（M，C），（M，D）
（N，A），（N，B），（N，C），（N，D）
故P（A）=

9

15

=

3

5

点评：本题主要考查根据频率分布直方图求某种情况的频率和频数，考察了学生的识图能力和转化能力．