题目内容
某校从参加高三年级期末统考测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）估计这次测试数学成绩的平均分和众数；
（Ⅱ）假设在[90，100]段的学生的数学成绩都不相同，且都超过94分．若将频率视为概率，现用简单随机抽样的方法，从95，96，97，98，99，100这6个数中任意抽取2个数，有放回地抽取了3次，记这3次抽取中，恰好是两个学生的数学成绩的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．
分析：（I）利用中值估算抽样学生的平均分；
（II）求出两个数恰好是两个学生的数学成绩的概率，确定随机变量ξ的可能取值，求出相应的概率，可求ξ的分布列及数学期望Eξ．
（II）求出两个数恰好是两个学生的数学成绩的概率，确定随机变量ξ的可能取值，求出相应的概率，可求ξ的分布列及数学期望Eξ．
解答：解：（I）利用中值估算抽样学生的平均分：45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05=72．…（3分）
众数的估计值为75．…（5分）
所以，估计这次考试的平均分是72分． …（6分）
（II）从95，96，97，98，99，100中抽2个数的全部可能的基本结果数是
=15，有15种结果，学生的成绩在[90，100]段的人数是0.005×10×80=4（人），
这两个数恰好是两个学生的数学成绩的基本结果数是
=6，
∴两个数恰好是两个学生的数学成绩的概率P=
=
…（8分）
随机变量ξ的可能取值为0、1、2、3，则有P（ξ=k）=
(
)k(
)3-k（k=0，1，2，3）
∴变量ξ的分布列为：
…（10分）
Eξ=0×
+1×
+2×
+3×
=
…（12分）
众数的估计值为75．…（5分）
所以，估计这次考试的平均分是72分． …（6分）
（II）从95，96，97，98，99，100中抽2个数的全部可能的基本结果数是
| C | 2 6 |
这两个数恰好是两个学生的数学成绩的基本结果数是
| C | 2 4 |
∴两个数恰好是两个学生的数学成绩的概率P=
| 6 |
| 15 |
| 2 |
| 5 |
随机变量ξ的可能取值为0、1、2、3，则有P（ξ=k）=
| C | k 3 |
| 2 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
∴变量ξ的分布列为：
| ξ | 0 | 1 | 2 | 3 | ||||||||
| P |
|
|
|
|
Eξ=0×
| 8 |
| 125 |
| 36 |
| 125 |
| 54 |
| 125 |
| 27 |
| 125 |
| 6 |
| 5 |
点评：本题考查频率分布直方图，考查随机变量的分布列及数学期望，正确求概率是关键．
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后，画出部分
的学生人数为
。
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