Question

【题目】如下图，已知是以为圆心，以4为半径的圆上的动点，与所连线段的垂直平分线与线段交于点。

（Ⅰ）求点的轨迹的方程；

（Ⅱ）已知点坐标为（4,0），并且倾斜角为锐角的直线经过点并且与曲线相交于两点，

（ⅰ）求证：；

（ⅱ）若，求直线的方程。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）证明见解析；（ii）。

【解析】

试题分析：（Ⅰ）借助题设条件运用椭圆的定义求解；（Ⅱ）借助题设条件运用直线与椭圆的位置关系求解。

试题解析：

（Ⅰ）设，则因为在线段的垂直平分线上，所以，所以。即的轨迹为以为焦点的椭圆，其长半轴为，半焦距为，所以短半轴。所以的方程是。

（Ⅱ）（ⅰ）设，，直线的方程为，则，，。则，。

所以。即。

（ⅱ）因为，所以，不妨设点在第一象限，则，，所以，；即

所以是方程，即方程的两个根，所以，，所以，．又倾斜角为锐角，所以，所以直线的方程为。