Question

【题目】设函数。

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，设函数，若对于使成立，求实数的取值范围。

Answer 1

【答案】（1）当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；当时，的单调递减区间为；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为。（2）的取值范围为

【解析】

试题分析：（1）先求函数的定义域，求导数得，解不等式，由1与的大小分情况讨论。（2）对于使成立，等价于在上的最小值小于等于函数在区间上的最小值。当时，由（1）知函数在区间上为增函数，所以函数在区间上的最小值为。二次函数，对称轴为x=b，讨论b与0,1,的大小求函数g(x)的最小值。

试题解析：解：（1）函数的定义域为。。由，解得，①当时，，由解得，由解得；②当时，；③.当时，，由由解得由解得；综上：当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；当时，的单调递减区间为；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为。

（2）当时，由（1）知函数在区间上为增函数，所以函数在区间上的最小值为。题意等价于在上的最小值小于等于函数在区间上的最小值，又，①当时，在上为增函数，，不适合题意；

②当时，可得，得；③当时，在上为减函数，,解得，此时。综上：的取值范围为