Question

已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，短轴的一个端点为M（0，1），过椭圆左顶点A的直线l与椭圆的另一交点为B．
（Ⅰ）若l与直线x=a交于点P，求•的值；
（Ⅱ）若|AB|=，求直线l的倾斜角．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根据椭圆（a＞b＞0）的离心率为，短轴的一个端点为M（0，1），可求椭圆的方程．设直线l的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理求出点B的坐标，即可求得•的值；
（Ⅱ）计算弦AB的长，利用|AB|=，可求直线的斜率，从而可求直线l的倾斜角．
解答：解：（Ⅰ）∵椭圆（a＞b＞0）的离心率为，短轴的一个端点为M（0，1），
∴，b=1，∴a=
∴椭圆的方程为
∵直线l过椭圆左顶点A（-，0），设直线l的方程为y=k（x+）
∵直线x=a，即为，∴点P（），
由，消元可得（1+2k²）x²+4k²x+4k²-2=0
可知为此方程的一个根，设B（x₂，y₂）
∴，∴
∴B
∴•=+=2；
（Ⅱ）|AB|===，
∴8k⁴-k²-7=0
∴k²=1
∴k=±1
∴直线l的倾斜角为或．
点评：本题考查椭圆方程，考查向量知识的运用，考查直线与椭圆的位置关系，考查弦长公式，解题的关键是确定椭圆方程，将直线与椭圆方程联立．