题目内容

设函数f（x）=
3
sin2x+cos2x+1
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）的增区间
（Ⅲ）当x∈[-
π
6
，
π
3
]时，求函数f（x）的最大最小值并求出相应的x的值．
分析：（I）利用两角和的正弦公式把函数f（x）=
3
sin2x+cos2x+1化为2(
3
2
sin2x+
1
2
cos2x)+1=2sin(2x+
π
6
)+1，利用周期公式即可得出；
（II）利用正弦函数的单调性即可得出单调区间；
（III）由x∈[-
π
6
，
π
3
]，可得(2x+
π
6
)∈[-
π
6
，
5π
6
]，利用正弦函数的单调性即可得到-
1
2
≤sin(2x+
π
6
)≤1．即可得到最值．
解答：解：（I）函数f（x）=
3
sin2x+cos2x+1
=2(
3
2
sin2x+
1
2
cos2x)+1
=2sin(2x+
π
6
)+1
∴T=
2π
2
=π，
∴函数f（x）的最小正周期为π；
（II）由-
π
2
+2kπ≤2x+
π
6
≤
π
2
+2kπ，
解得-
π
3
+kπ≤x≤
π
6
+kπ，
∴函数f（x）的增区间为[-
π
3
+kπ，
π
6
+kπ]（k∈Z）．
（III）由x∈[-
π
6
，
π
3
]，可得(2x+
π
6
)∈[-
π
6
，
5π
6
]，
∴-
1
2
≤sin(2x+
π
6
)≤1．
当且仅当2x+
π
6
=-
π
6
，即x=-
π
6
，ymin=2×(-
1
2
)+1=0；
当且仅当2x+
π
6
=
π
2
，即x=
π
6
，ymax=2×1+1=3．
点评：熟练掌握三角函数的图象与性质、两角和的正弦余弦公式是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
设函数f（x）=3sin（2x+
π
3
），给出四个命题：①它的周期是π；②它的图象关于直线x=
π
12
成轴对称；③它的图象关于点（
π
3
，0）成中心对称；④它在区间[-
5π
12
，
π
12
]上是增函数．其中正确命题的序号是
 
．
设函数f（x）=
3
sinθ
3
x3+
cosθ
2
x2+4x-1，其中θ∈[0，
5π
6
]，则导数f′（-1）的取值范围是
 
．
设函数f（x）=3sin（ωx+
π
4
）（ω＞0），x∈（-∞，+∞），且以
2π
3
为最小正周期．
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知f（
2
3
a+
π
12
）=
12
5
，求sinα的值．
设函数f（x）=3sin（2x+
π
3
），给出四个命题：①它的周期是2π；②它的图象关于直线x=
π
12
成轴对称；③它的图象关于点（-
π
3
，0）成中心对称；④它在区间[-
5π
12
，
π
12
]上是增函数．其中正确命题的序号是（　　）
设函数f（x）=3sin（2x+φ），φ∈（-π，0），y=f（x）图象的一条对称轴是直线x=
π
8

（1）求φ；
（2）求y=f（x）的减区间；
（3）当x∈[0，
π
2
]时求y=f（x）的值域．

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