题目内容

已知函数f（x）=x³+ax²-a²x+2，a∈R．
（1）若a＜0时，试求函数y=f（x）的单调递减区间；
（2）若a=0，且曲线y=f（x）在点A、B（A、B不重合）处切线的交点位于直线x=2上，证明：A、B 两点的横坐标之和小于4；
（3）如果对于一切x₁、x₂、x₃∈[0，1]，总存在以f（x₁）、f（x₂）、f（x₃）为三边长的三角形，试求正实数a的取值范围．

（1）解：f'（x）=3x²+2ax-a²=3（x+a）（x- $\text{[math]}$ ）
令f'（x）＜0，∵a＜0，∴ $\text{[math]}$
∴函数单调递减区间[ $\text{[math]}$ ，-a]；
（2）证明：当a=0时，f（x）=x³+2
设在点A（x₁，x₁³+2）、B（x₂，x₂³+2）处切线的交点位于直线x=2上一点P（2，t），
∵y′=3x²，∴在点A处的切线斜率为k= $\text{[math]}$
∴在A处的切线方程为y-（x₁³+2）= $\text{[math]}$ （（x-x₁）
∵切线过点P，∴t-（x₁³+2）= $\text{[math]}$ （（2-x₁）
∴ $\text{[math]}$ ①
同理 $\text{[math]}$ ②
①-②可得 $\text{[math]}$
∵x₁≠x₂，∴ $\text{[math]}$
∵x₁≠x₂，∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴0＜x₁+x₂＜4
∴A、B 两点的横坐标之和小于4；
（3）解：由题设知，f（0）＜f（1）+f（1），即2＜2（-a²+a+3），∴-1＜a＜2
∵a＞0，∴0＜a＜2
∵ $\text{[math]}$
∴x∈ $\text{[math]}$ 时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈ $\text{[math]}$ 时，f′（x）＞0，f（x）单调递增
∴当x= $\text{[math]}$ 时，f（x）有最小值f（ $\text{[math]}$ ）=- $\text{[math]}$
∴f（ $\text{[math]}$ ）=- $\text{[math]}$ ＞0①，f（0）＜2（- $\text{[math]}$ ）②，f（1）＜2（- $\text{[math]}$ ）③，
由①得a＜ $\text{[math]}$ ；由②得 $\text{[math]}$ ，∵0＜a＜2，∴ $\text{[math]}$
不等式③化为 $\text{[math]}$ ＜0
令g（a）= $\text{[math]}$ ，则g′（a）= $\text{[math]}$ ，∴g（a）为增函数
∵g（2）=- $\text{[math]}$ ＜0，∴当 $\text{[math]}$ 时，g（a）＜0恒成立，即③成立
∴正实数a的取值范围为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）求导函数，令f'（x）＜0，结合a＜0，可得函数单调递减区间；
（2）设在点A（x₁，x₁³+2）、B（x₂，x₂³+2）处切线的交点位于直线x=2上一点P（2，t），求出切线方程，代入点P的坐标，两方程相减，借助于基本不等式，即可证得A、B 两点的横坐标之和小于4；
（3）先确定0＜a＜2，再求导函数，确定函数的单调性与最小值，进而可确定正实数a的取值范围．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查导数的几何意义，考查存在性问题的研究，正确求导是关键．