Question

16．设实数a≤2，已知函数f（x）=$\frac{a+a（2-a）^{2}}{ax-{x}^{2}}$，x∈（0，a），若存在a，x₀，使得f（x₀）≤2，则x₀的取值集合为{1}．

Answer 1

分析 x∈（0，a），a≤2，可得ax-x²=x（a-x）＞0．由于存在a，x₀，使得f（x₀）≤2，使得函数$\frac{a+a（2-a）^{2}}{a{x}_{0}-{x}_{0}^{2}}$≤2，化为$2（{x}_{0}^{2}-a{x}_{0}）$≤-[a+a（2-a）²]，可得$[2（{x}_{0}^{2}-a{x}_{0}）]_{min}$≤-[a+a（2-a）²]，利用二次函数的单调性可得：$2（{x}_{0}^{2}-a{x}_{0}）$$≥-\frac{{a}^{2}}{2}$，即可解出a．进而得出．

解答 解：∵x∈（0，a），a≤2，
∴ax-x²=x（a-x）＞0，
由于存在a，x₀，使得f（x₀）≤2，
∴函数$\frac{a+a（2-a）^{2}}{a{x}_{0}-{x}_{0}^{2}}$≤2，
化为$2（{x}_{0}^{2}-a{x}_{0}）$≤-[a+a（2-a）²]，
∵$2（{x}_{0}^{2}-a{x}_{0}）$=2$（{x}_{0}-\frac{a}{2}）^{2}$-$\frac{{a}^{2}}{2}$$≥-\frac{{a}^{2}}{2}$，
∴$-\frac{{a}^{2}}{2}$≤-[a+a（2-a）²]，
化为2a²-9a+10≤0，
解得$2≤a≤\frac{5}{2}$，
又a≤2，
∴a=2．
∴f（x）=$\frac{2}{2x-{x}^{2}}$，x∈（0，2）．
由$\frac{2}{2x-{x}^{2}}$≤2，x∈（0，2）．
化为（x-1）²≤0，
解得x=1．
∴x₀的取值集合为{1}．
故答案为：{1}．

点评 本题考查了存在性问题的等价转化方法、二次函数的单调性、不等式的解法、简易逻辑，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．