题目内容
【题目】如图，在多面体
中，
两两垂直，四边形
是边长为2的正方形，
，
，且
，
.
（1）证明：
平面
；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2）
.
【解析】
（1）连接AE,EG，根据直线的垂直关系可得
平面
及平面
，结合所给边长及平行关系可知四边形
是菱形，进而得到
，在正方形
中
平面
。
（2）建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，求得平面
的法向量
及平面的法向量
，即可利用向量的数量积关系求得二面角
的余弦值。
(1)证明：连接
，
因为
两两垂直，所以平面
因为
，所以
，又
，所以平面
所以
，又因为
，所以四边形是菱形，所以
易知四边形
是平行四边形，所以
在正方形中，
，故
又
，所以
平面
（2）由（1）知
两两互相垂直，故以
为坐标原点，以所在直线为
轴建立如图所示的空间直角坐标系
，
则
，
，
，
，
，则
，
，
设
为平面的法向量，
则
令
，则
，
，所以
又因为平面，所以
为平面的一个法向量
由图可知二面角是钝角，所以二面角的余弦值为
.
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