题目内容

5．在[（$\sqrt{x}$）lgx+1+$\root{6}{x}$]n展开式中，第二、三、四项的二项式系数成等差数列，且已知第四项是35000，试问：
（1）次数n是多少？
（2）展开式中的x是多少？

分析 （1）由题意可得2${C}_{n}^{2}$=+${C}_{n}^{1}$+${C}_{n}^{3}$，求得次数n的值．
（2）根据第四项是35000，求得 ${（\sqrt{x}）}^{4lgx+5}$=1000，即$\frac{4lgx+5}{2}$•lgx=3，求得lgx的值，可得x的值．

解答 解：（1）由题意可得2${C}_{n}^{2}$=+${C}_{n}^{1}$+${C}_{n}^{3}$，求得n=2（舍去），或 n=7，
故次数n是7．
（2）根据第四项是${C}_{7}^{3}$•${（\sqrt{x}）}^{4lgx+4}$•${（\root{6}{x}）}^{3}$=35•${（\sqrt{x}）}^{4lgx+5}$=35000，
∴${（\sqrt{x}）}^{4lgx+5}$=1000，即 ${x}^{\frac{4lgx+5}{2}}$=1000，$\frac{4lgx+5}{2}$•lgx=3，∴lgx=-2，∴x=$\frac{1}{100}$．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，式子的变形是解题的关键，属于中档题．

练习册系列答案
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