Question

已知双曲线左右两焦点为F₁，F₂，P为右支上一点，PF₂⊥F₁F₂，OH₂⊥PF₁于H，OH=λOF₁，．
（1）求双曲线的离心率e的取值范围；
（2）当e取得最大值时，过F₁，F₂，P的圆截y轴的线段长为4，求该圆方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）用λ表示离心率的平方，据λ的范围求出离心率平方得最值，可得离心率的范围，
（2）确定圆心位置及直径，进而得到半径，写出圆的标准方程．
解答：解：（1）由题意
=，在 上单调递增函数．
∴时，e²最大3，时，e²最小 2，
∴2≤e²≤3，∴．
（2）当 时，，∴，∴b²=2a²．
∵PF₂⊥F₁F₂，∴PF₁是圆的直径，圆心是PF₁的中点，
∴在y轴上截得的弦长就是直径，∴PF₁=4．
又 ，∴．
∴，圆心C（0，1），半径为2，x²+（y-1）²=4．
点评：本题的考点是圆与圆锥曲线的综合，主要考查圆的标准方程、双曲线的性质、直线和圆锥曲线的关系． 关键是用λ表示离心率的平方，进而得解．