题目内容
【题目】如图，在三棱锥
中， 
， 
， 
为
的中点.
（1）求证： 
；
（2）设平面
平面
， 
， 
，求二面角
的平面角的正弦值.
【答案】（1）见解析;（2）
.
【解析】试题分析：
(1)由题意可得证得
平面
，然后利用线面垂直的判断定理即可证得
；
(2)由题意建立空间直角坐标系，结合平面的法向量可得面角
的平面角的正弦值是
.
试题解析：
（1）设
中点为
，连接
， 
，
因为
，所以
，
又
为
的中点，
所以
.
因为
，所以
，
因为
，所以
平面
，又
平面
，
所以
（2）由（1）知
，
因为平面
平面
，平面
平面
， 
平面
，
所以
平面
，又
.
以
为坐标原点，分别以
， 
， 
为
轴， 
轴， 
轴的正方向建立空间直角坐标系
，如图所示，
因为
， 
， 
，所以
，
由
为
中点， 
， 
，得
， 
，
则， 
， 
， 
， 
， 
， 
设平面
的一个法向量为
，
由
，即
取
，可得
，
因为平面
平面
，平面
平面
， 
平面
，
所以
平面
，所以平面
的一个法向量为
，
∴
，
设二面角
的大小为
，则
所以
，
∴二面角
的平面角的正弦值为
.
练习册系列答案
相关题目
【题目】在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为
，且成绩分布在
，分数在80以上（含80）的同学获奖.按文理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（见下图）
（Ⅰ）求所抽取样本的平均值
（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）填写下面的
列联表，能否有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”？
附表及公式：
，其中
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
