Question

18．设函数f（x）的定义域为R，f（-x）=f（x），f（x）=f（2-x），当x∈[0，1]时，f（x）=x³，则函数g（x）=|cos（πx）|-f（x）在区间[-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]上的所有零点的和为（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 判断函数的奇偶性，对称性，利用函数的性质求解函数的零点的和．

解答 解：函数f（x）的定义域为R，f（-x）=f（x），
可知函数是偶函数，f（x）=f（2-x），
可知函数的对称轴为：x=1，当x∈[0，1]时，f（x）=x³，
函数g（x）=|cos（πx）|-f（x）可知函数是偶函数，
g（x）=|cos（πx）|-f（x）=0，可得|cos（πx）|=f（x），
在同一个直角坐标系中画出函数y=|cos（πx）|，
y=f（x）的图象如图：
函数在区间[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]上的零点的和为：0．
函数在[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]时，两个函数的交点关于x=1对称，零点有3个，
零点的和为：3．
故选：B．

点评 本题考查函数与方程的综合应用，抽象函数以及数形结合思想方法的应用，考查作图能力以及计算能力．