Question

7．已知m，n∈R⁺，f（x）=|x+m|+|2x-n|．
（1）当m=n=1时，求f（x）的最小值；
（2）若f（x）的最小值为2，求证：$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$≥2．

Answer 1

分析 （1）当m=n=1时，确定函数的单调性，即可求f（x）的最小值；
（2）确定函数的单调性，即可求f（x）的最小值，利用f（x）的最小值为2，结合基本不等式证明：$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$≥2．

解答 解：（1）∵当m=n=1时，$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{-3x，\;\;x＜-1}\\{-x+2，\;\;-1≤x≤\frac{1}{2}}\\{3x，\;x＞\frac{1}{2}}\end{array}}\right.$，
∴f（x）在$（{-∞，\frac{1}{2}}）$是减函数，在$（{\frac{1}{2}，+∞}）$是增函数，
∴当$x=\frac{1}{2}$时，f（x）取最小值$\frac{3}{2}$…（6分）
证明：（2）∵$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{-3x-m+n，x≤-m}\\{-x+m+n，-m＜x＜\frac{n}{2}}\\{3x+m-n，x≥\frac{n}{2}}\end{array}}\right.$，
∴f（x）在$（{-∞，\frac{n}{2}}）$是减函数，在$（{\frac{n}{2}，+∞}）$是增函数，
∴当$x=\frac{n}{2}$时，f（x）取最小值$f（{\frac{n}{2}}）=m+\frac{n}{2}$．
∵m，n∈R，
∴$\frac{1}{m}+\frac{2}{n}=\frac{1}{2}（{\frac{1}{m}+\frac{2}{n}}）（{m+\frac{n}{2}}）=\frac{1}{2}（{2+\frac{2m}{n}+\frac{n}{2m}}）≥2$…（12分）

点评 本题考查绝对值函数，考查函数的单调性与最值，考查基本不等式的运用，正确转化是关键．