Question

设函数f(x)=

3

cos2x+sinxcosx-

3

2

．
（1）求函数f（x）的最小正周期T及值域． 
（2）说明函数的单调性．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角的余弦与正弦及辅助角公式可将f（x）化为f（x）=sin（2x+

π

3

），利用正弦函数的性质即可求得函数f（x）的最小正周期T及值域．
（2）利用正弦函数的单调性可求得其单调递增区间与单调递减区间，从而可说明函数的单调性．

解答：解：（1）∵f（x）=

3

cos²x+sinxcosx-

3

2

=

3

•

1+cos2x

2

+

1

2

sin2x-

3

2

=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x
=sin（2x+

π

3

），
∴函数f（x）的最小正周期T=π，值域为[-1，1]．
（2）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）
得：kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

（k∈Z），
∴函数y=f（x）在[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]（k∈Z）上单调递增，
同理可得函数y=f（x）在[kπ+

π

12

，kπ+

7π

12

]（k∈Z）上单调递减．

点评：本题考查二倍角的余弦与正弦及辅助角公式，着重考查正弦函数的周期性、单调性与最值，属于中档题．