Question

设函数f(x)=sinωx+sin(ωx-

π

2

)，x∈R．
（1）若ω=

1

2

，求f（x）的最大值及相应的x的集合；
（2）若x=

π

8

是f（x）的一个零点，且0＜ω＜10，求ω的值和f（x）的最小正周期．

Answer 1

（1）f（x）=sinωx+sin（ωx-

π

2

）=sinωx-cosωx，…（1分）
当ω=

1

2

时，f（x）=sin

x

2

-cos

x

2

=

2

sin（

x

2

-

π

4

），…（2分）
又-1≤sin（

x

2

-

π

4

）≤1，∴f（x）的最大值为

2

，…（4分）
令

x

2

-

π

4

=2kπ+

π

2

，k∈Z，解得：x=4kπ+

3π

2

，k∈Z，
则相应的x的集合为{x|x=4kπ+

3π

2

，k∈Z}；…（6分）
（2）∵f（x）=

2

sin（

x

2

-

π

4

），且x=

π

8

是f（x）的一个零点，
∴f（

π

8

）=sin（

ωπ

8

-

π

4

）=0，…（8分）
∴

ωπ

8

-

π

4

=kπ，k∈Z，整理得：ω=8k+2，
又0＜ω＜10，∴0＜8k+2＜10，
解得：-

1

4

＜k＜1，
又k∈Z，∴k=0，ω=2，…（10分）
∴f（x）=

2

sin（2x-

π

4

），
则f（x）的最小正周期为π．…（12分）