Question

已知函数若函数在x = 0处取得极值．
(1) 求实数的值；
(2) 若关于x的方程在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围；
(3) 证明：对任意的自然数n，有恒成立．

Answer 1

(1)；(2) ；(3)见解析.

试题分析：(1)先有已知条件写出的解析式，然后求导，根据导数与函数极值的关系得到，解得的值；(2)由构造函数，则在上恰有两个不同的实数根等价于在恰有两个不同实数根，对函数求导，根据函数的单调性与导数的关系找到函数的单调区间，再由零点的存在性定理得到，解不等式组即可；(3) 证明不等式，即是证明.对函数求导，利用导数研究函数的单调性，找到其在区间上的最大值，则有成立，那么不等式成立，利用二次函数的图像与性质可得的单调性与最小值，根据，那么，所给不等式得证.
试题解析：(1) 由题意知则，   2分
∵时， 取得极值，∴，故，解得．
经检验符合题意．                                                       4分
(2)由知
由 ，得，                          5分
令，
则在上恰有两个不同的实数根等价于在恰有两个不同实数根． ，         7分
当时，，于是在上单调递增；
当时，，于是在上单调递减．依题意有
，即，　．9分
(3) 的定义域为，由(1)知，
令得，或 (舍去)，                 11分
∴当时，，单调递增；
当时，，单调递减．　　∴为在(-1，+∞)上的最大值．
∴，故 (当且仅当时，等号成立)  12分
对任意正整数，取得，，
令 则在为增函数，
所以，即恒成立．
对任意的自然数，有恒成立．                  14分