Question

（2012•开封二模）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建极坐标系，已知曲线C：ρsin²θ=2acosθ（a＞0），过点P（-2，-4）的直线l的参数方程为：

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

，直线l与曲线C分别交于M，N．

（1）写出曲线C和直线L的普通方程；（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．

Answer 1

分析：（1）把极坐标方程两边同时乘以ρ后，代入极坐标与直角坐标的互化公式得答案；由直线的参数方程可得直线经过的定点和直线的倾斜角，求出斜率后直接写出直线的点斜式方程；
（2）把直线的参数方程代入抛物线方程，由|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，借助于直线方程的参数的几何意义列式求解a的值．

解答：解：（1）由ρsin²θ=2acosθ，得ρ²sin²θ=2aρcosθ，
即y²=2ax；
由

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

，可知直线过（-2，-4），且倾斜角为

π

4

，
∴直线的斜率等于1，∴直线方程为y+4=x+2，即y=x-2；
（2）直线l的参数方程为

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

（t为参数），
代入y²=2ax得到t2-2

2

(4+a)t+8(4+a)=0，
则有t1+t2=2

2

(4+a)，t1t2=8(4+a)，
因为|MN|²=|PM|•|PN|，
所以(t1-t2)2=(t1+t2)2-4t1t2=t1t2，
即8（4+a）²=5×8（4+a）．
解得a=1．

点评：本题考查了直线的参数方程，考查了简单曲线的极坐标方程，训练了等比数列性质的应用，是中档题．