Question

二次函数f（x）=ax²+bx+1，（a＞0），设f（x）=x的两个实根为x₁，x₂，
（1）如果b=2且|x₂-x₁|=2，求a的值；
（2）如果x₁＜2＜x₂＜4，设函数f（x）的对称轴为x=x₀，求证：x₀＞-1．

Answer 1

（1）b=2，f（x）=ax²+2x+1，（a＞0），又f（x）=x的两个实根为x₁，x₂，
∴x₂+x₁=-

1

a

，x₂•x₁=

1

a

∵|x₂-x₁|²=（x₂+x₁）²-4x₂•x₁=

1

a2

-

4

a

=4
解得：a=

2 -1

2

（2）依题意可知

f(2)＜0 f(4)＞0

即

4a+2b+1＜2 16a+4b+1＞4

整理求得2a＞b
∴

b

a

＜2
∵函数f（x）的对称轴为x=x₀，
∴x₀=-

b

2a

∴x₀＞-1