Question

（本题满分14分）已知函数，函数是函数的反函数．

（1）求函数的解析式，并写出定义域；

（2） 设函数，试判断函数在区间上的单调性，并说明你的理由．

Answer 1

（1）； （2） 函数在上单调递减.

【解析】

试题分析：（1）先且部分分式法结合指数函数的值域求函数的值域，即为其反函数的定义域D；再令解出x然后交换x,y的位置即得函数的解析式；

（2）先由（1）的结论可求得的解析式和定义域，从而可判断函数为奇函数，从而判断函数在区间上的单调性，可转化为判断函数在区间上的单调性即可．

试题解析： （1） ，

.又，.

.

由，可解得.

，.

（2） 答：函数在区间上单调递减.

理由：由（1）可知，.

可求得函数的定义域为.

对任意，有，

所以，函数是奇函数.

当时，在上单调递减，在上单调递减，

于是，在上单调递减.

因此，函数在上单调递减.

依据奇函数的性质，可知， 函数在上单调递减.

考点：1.反函数；2．函数的奇偶性与单调性．