Question

设函数f（x）=x^p+qx的导函数f′（x）=2x+1，则数列{

1

f(n)

}的前n项的和为（　　）

• A．

  n

  n+1

• B．

  n+1

  n

• C．

  n

  n-1

• D．

  n+2

  n+1

Answer 1

分析：利用f′（x）=（x^p）′+（qx）′=px^p-1+q=2x+1，可求得p=2，q=1．从而得f（n）=n²+n，

1

f(n)

=

1

n

-

1

n+1

，用累加法即可求其和．

解答：解：∵f′（x）=（x^p）′+（qx）′=px^p-1+q=2x+1，
∴p=2，q=1，
∴f（n）=n²+n，
∴

1

f(n)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴

1

f(1)

+

1

f(2)

+…+

1

f(n)

=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）=1-

1

n+1

=

n

n+1

．
故选A．

点评：本题考查数列的求和，着重考察导数的运算及裂项法、累加法求和，属于中档题．