Question

定义方程f（x）=f′（x）（f′（x）是f（x）的导函数）的实数根x₀叫做函数的f（x）“新驻点”，若函数g（x）=x，r（x）=ln（x+1），φ（x）=x³-1的“新驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为（　　）

• A、α＞β＞γ
• B、β＞α＞γ
• C、β＞γ＞α
• D、γ＞α＞β

Answer 1

分析：①g′（x）=1，由g（x）=g′（x），解得α=1．
②r′(x)=

1

x+1

，由r（x）=r′（x），得到ln(x+1)=

1

x+1

，由x+1＞0，可得

1

x+1

＞0，于是0＜x+1＜1，可得-1＜β＜0．
③由φ′（x）=3x²，φ（x）=φ′（x），得x³-1=2x²，可得x³-1＞0，可得γ＞1．

解答：解：①∵g（x）=x，∴g′（x）=1，由g（x）=g′（x），解得x=1，∴α=1．
②∵r（x）=ln（x+1），∴r′(x)=

1

x+1

，由r（x）=r′（x），得到ln(x+1)=

1

x+1

，
∵x+1＞0，∴

1

x+1

＞0，∴0＜x+1＜1，∴-1＜x＜0，即-1＜β＜0．
③∵φ（x）=x³-1，∴φ′（x）=3x²，由φ（x）=φ′（x），得x³-1=2x²，
∵2x²＞0，（x=0时不成立），∴x³-1＞0，∴x＞1，∴γ＞1．
综上可知：γ＞α＞β．
故选：D．

点评：本题考查了导数的运算法则、新定义“新驻点”、对数函数的单调性，属于中档题．