Question

定义方程f（x）=f′（x）的实数根x₀叫做函数f（x）的“新驻点”，若函数g（x）=x，h（x）=ln（x+1），φ（x）=x³-lg（x）=x，h（x）=ln（x+1），φ（x）=x³-1的“新驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为（　　）

• A、α＞β＞γ
• B、β＞α＞γ
• C、γ＞α＞β
• D、β＞γ＞α

Answer 1

分析：分别对g（x），h（x），φ（x）求导，令g′（x）=g（x），h′（x）=h（x），φ′（x）=φ（x），则它们的根分别为α，β，γ，即α=1，ln（β+1）=

1

β+1

，γ³-1=3γ²，然后分别讨论β、γ的取值范围即可．

解答：解：∵g′（x）=1，h′（x）=

1

x+1

，φ′（x）=3x²，
由题意得：
α=1，ln（β+1）=

1

β+1

，γ³-1=3γ²，
①∵ln（β+1）=

1

β+1

，
∴（β+1）^β+1=e，
当β≥1时，β+1≥2，
∴β+1≤

e

＜2，
∴β＜1，这与β≥1矛盾，
∴0＜β＜1；
②∵γ³-1=3γ²，且γ=0时等式不成立，
∴3γ²＞0
∴γ³＞1，
∴γ＞1．
∴γ＞α＞β．
故选C．

点评：函数、导数、不等式密不可分，此题就是一个典型的代表，其中对对数方程和三次方程根的范围的讨论是一个难点．