Question

设椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂，A是椭圆上的一点，C，原点O到直线AF₁的距离为．
（Ⅰ）证明；
（Ⅱ）求t∈（0，b）使得下述命题成立：设圆x²+y²=t²上任意点M（x，y）处的切线交椭圆于Q₁，Q₂两点，则OQ₁⊥OQ₂．

Answer 1

【答案】分析：证法一：设点A（c，y），y＞0，由题设条件能够推导出，直线AF₂的方程为，再由原点O到直线AF₁的距离得到，由此可得．
证法二：由题设知A，由椭圆定义得|AF₁|+|AF₂|=2a，又，所以，解得，而，由此能够导出．
（Ⅱ）圆x²+y²=t²上的任意点M（x，y）处的切线方程为xx+yy=t²．当t∈（0，b）时，圆x²+y²=t²上的任意点都在椭圆内，故此圆在点A处的切线必交椭圆于两个不同的点Q₁和Q₂，因此点Q₁（x₁，y₁），Q₂（x₂，y₂）的坐标是方程组
的解．当y≠0时，由①式得代入②式，得，然后结合题设条件利用根与系数的关系进行求解．
解答：解：（Ⅰ）证法一：由题设AF₂⊥F₁F₂及F₁（-c，0），
F₂（c，0），不妨设点A（c，y），
其中y＞0，由于点A在椭圆上，
有，，
解得，从而得到，
直线AF₂的方程为，
整理得b²x-2acy+b²c=0．
由题设，原点O到直线AF₁的距离为，
即，
将c²=a²-b²代入原式并化简得a²=2b²，即．

证法二：同证法一，得到点A的坐标为，
过点O作OB⊥AF₁，垂足为H，易知△F₁BC∽△F₁F₂A，
故
由椭圆定义得|AF₁|+|AF₂|=2a，又，
所以，
解得，而，
得，即；

（Ⅱ）圆x²+y²=t²上的任意点M（x，y）
处的切线方程为xx+yy=t²．
当t∈（0，b）时，圆x²+y²=t²上的任意点都在椭圆内，
故此圆在点A处的切线必交椭圆于两个不同的点Q₁和Q₂，
因此点Q₁（x₁，y₁），Q₂（x₂，y₂）的坐标是方程组
的解．
当y≠0时，由①式得
代入②式，得，
即（2x²+y²）x²-4t²xx+2t⁴-2b²y²=0，
于是，

=
=
=．若OQ₁⊥OQ₂，
则．
所以，3t⁴-2b²（x²+y²）=0．由x²+y²=t²，得3t⁴-2b²t²=0．
在区间（0，b）内此方程的解为．
当y=0时，必有x≠0，同理求得在区间（0，b）内的解为．
另一方面，当时，可推出x₁x₂+y₁y₂=0，从而OQ₁⊥OQ₂．
综上所述，使得所述命题成立．
点评：本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、圆的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．