Question

S_n是数列{a_n}的前n项和，则“S_n是关于n的二次函数”是“数列{a_n}为等差数列”的

1. A.
   充分不必要条件
2. B.
   必要不充分条件
3. C.
   充分必要条件
4. D.
   既不充分也不必要条件

Answer 1

D
分析：利用必要条件、充分条件与充要条件的概念及等差数列的性质可得“S_n是关于n的二次函数”不能?“数列{a_n}为等差数列”，反之亦然，从而可得答案．
解答：不妨设S_n=n²-1，
则当n=1时，a₁=S₁=0，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n-1，
显然，当n=1时，a₁=0≠1，
∴a_n=，即数列{a_n}不是等差数列，
也就是说，“S_n是关于n的二次函数”不能?“数列{a_n}为等差数列”，充分性不成立；
反之，“数列{a_n}为等差数列”，不妨取a_n=0，
则S_n=na₁=0，S_n不是关于n的二次函数，即必要性不成立，
故选D．
点评：本题考查等差数列的性质，考查必要条件、充分条件与充要条件的概念，考查理解与推理能力，考查特值法在选择题中的应用，属于中档题．