Question

如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=

2

．
（Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD；
（Ⅱ）求异面直线AB与CD所成角的大小；
（Ⅲ）求点E到平面ACD的距离．

Answer 1

分析：（I）欲证AO⊥平面BCD，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AO与平面BCD内两相交直线垂直，而CO⊥BD，AO⊥OC，BD∩OC=O，满足定理；
（II）以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，异面直线AB与CD的向量坐标，求出两向量的夹角即可；
（III）求出平面ACD的法向量，点E到平面ACD的距离转化成向量EC在平面ACD法向量上的投影即可．

解答：解：（I）证明：连接OC
∵BO=DO，AB=AD，
∴AO⊥BD．
∵BO=DO，BC=CD，
∴CO⊥BD．
在△AOC中，由已知可得AO=1，CO=

3

．
而AC=2，
∴AO²+CO²=AC²，
∴∠AOC=90°，即AO⊥OC．
∵BD∩OC=O，
∴AO⊥平面BCD
（II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则B（1，0，0），D（-1，0，0），C(0，

3

，0)，A(0，0，1)，E(

1

2

，

3

2

，0)，

BA

=(-1，0，1)，

CD

=(-1，-

3

，0)．
∴cos＜

BA

，

CD

＞=

BA . CD

| BA || CD |

=

2

4

，
∴异面直线AB与CD所成角的大小为arccos

2

4

．
（III）解：设平面ACD的法向量为

n

=(x，y，z)，
则

n . AD =(x，y，z)．(-1，0，-1)=0 n . AC =(x，y，z)．(0 3 ，-1)=0

∴

x+z=0 3 y-z=0.

令y=1，得

n

=(-

3

，1，

3

)是平面ACD的一个法向量．
又

EC

=(-

1

2

，

3

2

，0)，
∴点E到平面ACD的距离h=

| EC . n |

| n |

=

3

7

=

21

7

．

点评：本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．