Question

设an=

sin1

2

+

sin2

22

+…+

sinn

2n

，则对任意正整数m，n（m＞n），都成立的是（　　）

• A．|an-am|＜

  m?n

  2

• B．|an-am|＞

  m-n

  2

• C．|an-am|＜

  1

  2 n

• D．|an-am|＞

  1

  2 n

Answer 1

分析：由于am=

sin1

2

+

sin2

22

+…+

sinm

2m

，an=

sin1

2

+

sin2

22

+…+

sinn

2n

，从而得出|a_n-a_m|=|

sin(n+1)

2 n+1

+

sin(n+2)

2n+2

+…+

sinm

2m

|利用绝对值不等式进行放缩，最后结合等比数列求和即得．

解答：解：am=

sin1

2

+

sin2

22

+…+

sinm

2m

，
an=

sin1

2

+

sin2

22

+…+

sinn

2n

，
所以|a_n-a_m|
=|

sin(n+1)

2 n+1

+

sin(n+2)

2n+2

+…+

sinm

2m

|
≤|

sin(n+1)

2 n+1

|+…+|

sinm

2m

|
＜

1

2 n+1

+…+

1

2 m

=

1

2 n

[1-（

1

2

）^m-n]
＜

1

2 n

，
所以：|an-am|＜

1

2 n

，
故选C．

点评：本小题主要考查放缩法、等比数列的前n项和、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．