Question

13．已知f（x）是定义在R上的函数，且f（x+2）[1-f（x）]=1+f（x），在[-1，3]上，f（x）=x²，定义在R上的函数g（x）满足 g（2+x）=g（2-x），g（6+x）=g（6-x），且当2≤x≤6时，g（x）=2-$\frac{1}{2}$x，设F（x）=f（x）+g（x），求F（2033）．

Answer 1

分析 由f（x+2）[1-f（x）]=1+f（x）可推出f（x+8）=f（x），从而解得f（2033）．

解答 解：f（x）是定义在R上的函数，且f（x+2）[1-f（x）]=1+f（x），在[-1，3]上，f（x）=x²，
∵f（x+2）[1-f（x）]=1+f（x），
∴f（x+2）=$\frac{1+f（x）}{1-f（x）}$；
∴f（x+4）=$\frac{1+f（x+2）}{1-f（x+2）}$
=$\frac{1+\frac{1+f（x）}{1-f（x）}}{1-\frac{1+f（x）}{1-f（x）}}$=-$\frac{1}{f（x）}$；
∴f（x+8）=-$\frac{1}{f（x+4）}$=f（x）；函数的周期是8，
故f（2033）=f（254×8+1）=f（1）=1；
定义在R上的函数g（x）满足 g（2+x）=g（2-x），g（6+x）=g（6-x），
当2≤x≤6时，g（x）=2-$\frac{1}{2}$x，
可得g（x）=g（4-x）=g（12-x），
可得g（x）=g（8+x），g（x）的周期为8．
g（2033）=g（254×8+1）=g（1）=g（3）=2-$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$．
F（x）=f（x）+g（x），F（2033）=1+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查抽象函数的应用，函数的性质的应用，属于中档题．