Question

3．已知函数f（x）=$\sqrt{3}sinxcosx-{cos^2}x+\frac{1}{2}$．
（1）求函数f（x）在$x∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$上的最值；
（2）在△ABC中，c=$\sqrt{7}$，f（C）=1，若向量$\overrightarrow m=（1，sinA），\overrightarrow n=（3，sinB）$共线，求a，b的值．

Answer 1

分析 （1）化简函数，根据正弦函数的性质，在$x∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$上时，求出f（x）内层函数的范围，求解其最值．
（2）求出C角的大小，利用向量共线，求出A，B的关系，利用三角形内角和定理和正余弦定理即可求解．

解答 解：函数f（x）=$\sqrt{3}sinxcosx-{cos^2}x+\frac{1}{2}$．
化简得：f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$cos2x）+$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x
=sin（2x-$\frac{π}{6}$） 
（1）∵$x∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$，
∴$2x-\frac{π}{6}∈[{\frac{π}{3}，\frac{5π}{6}}]$．
当2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，函数f（x）取得最大值为：1；
当2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$时，函数f（x）取得最小值为：$\frac{1}{2}$；
∴函数f（x）在$x∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$上的最值分别为：f（x）_max=1，$f（x）_{min'}=\frac{1}{2}$．
（2）由题意：c=$\sqrt{7}$，f（C）=1，
则有：f（C）=sin（2C-$\frac{π}{6}$）=1
解得：C=$\frac{π}{3}$
又∵向量$\overrightarrow m=（1，sinA），\overrightarrow n=（3，sinB）$共线，
则有：sinA•sinB=3
由正弦定理，可得ab=3，b=$\frac{3}{a}$
由余弦定理：$cosC=\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$
⇒$cos\frac{π}{3}=\frac{{a}^{2}+\frac{9}{{a}^{2}}-7}{6}$
解得：a=1，
∵ab=3，
∴b=3
故a，b的值分别为1，3．

点评 本题考查了三角函数的化解能力和性质的运用，同时考查了正余弦定理的运用能力．属于中档题．