Question

13．设f（x）=|x|+|x+10|．
（Ⅰ）求f（x）≤x+15的解集M；
（Ⅱ）当a，b∈M时，求证：5|a+b|≤|ab+25|

Answer 1

分析 （ I）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）当a，b∈M时，等价转化不等式5|a+b|≤|ab+25|为（a²-25）•（25-b²）≤0，结合题意可得（a²-25）•（25-b²）≤0成立，从而得出结论．

解答 解：（ I）由f（x）=|x|+|x+10|≤x+15得：
$\left\{\begin{array}{l}{x＜-10}\\{-x-x-10≤x+15}\end{array}\right.$  ①，或$\left\{\begin{array}{l}{-10≤x≤0}\\{-x+x+10≤x+15}\end{array}\right.$ ②，或$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x+x+10≤x+15}\end{array}\right.$ ③．
解①求得x∈∅，解②求得-5≤x≤0，解③求得5≥x＞0，
故原不等式的解集为M={x|-5≤x≤5 }．
（ II）当a，b∈M时，-5≤a≤5，-5≤b≤5，不等式 5|a+b||≤|ab+25|，
等价于25（a+b）²≤（ab+25）²，即25（a²+b²+2ab）≤a²•b²+50ab+625，
即25a²+25b²-a²•b²-625≤0，等价于（a²-25）•（25-b²）≤0．
而由-5≤a≤5，-5≤b≤5，可得a²≤25，b²≤25，∴a²-25≤0，25-b²≥0，∴（a²-25）•（25-b²）≤成立，
故要证的不等式 5|a+b|≤|ab+25|成立．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，用分析法证明不等式，属于中档题．