Question

14．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|ω|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（　　）

• A． 函数f（x）的最小正周期为2π
• B． 函数f（x）的图象关于点（-$\frac{5π}{12}$，0）对称
• C． 将函数f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位得到的函数图象关于y轴对称
• D． 函数f（x）的单调递增区间是[kπ+$\frac{7π}{12}$，kπ+$\frac{13π}{12}$]（K∈Z）

Answer 1

分析 首先，根据图象得到振幅和A=2，ω=2，从而得到f（x）=2sin（2x+φ），然后，将点（$\frac{π}{12}$，2）代入得到φ=$\frac{π}{3}$，从而可得函数解析式，利用正弦函数的对称性及单调性，判断各个选项是否正确，从而得出结论．

解答 解：根据图象得到：A=2，$\frac{T}{4}$=$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{12}$，
∴T=π，故A错误；
∴$\frac{2π}{ω}$=π，
∴ω=2，
∴f（x）=2sin（2x+φ），
将点（$\frac{π}{12}$，2）代入得到2sin（$\frac{π}{6}$+φ）=2，|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{3}$，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
令x=-$\frac{5π}{12}$，可得：f（-$\frac{5π}{12}$）=2sin（-$\frac{5π}{6}$+$\frac{π}{3}$）=-2，故B错误；
f（x+$\frac{π}{6}$）=2sin[2（x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{3}$]=2sin（2x+$\frac{2π}{3}$），由于f（0）=2sin$\frac{2π}{3}$=$\sqrt{3}$不是最大值，故C错误；
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈Z，可得：kπ+$\frac{7π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{13π}{12}$，K∈Z，可得函数f（x）的单调递增区间是[kπ+$\frac{7π}{12}$，kπ+$\frac{13π}{12}$]（K∈Z），故D正确．
故选：D．

点评 本题重点考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，三角函数的图象与性质及其运用，考查了数形结合思想的应用，属于基础题．