题目内容

如图，已知三角形ABC的三边AB=4，AC=5，BC=3，椭圆M以A、B为焦点且经过点C．
（Ⅰ）建立适当直角坐标系，求椭圆M的标准方程；
（Ⅱ）过线段AB的中点的直线l交椭圆M于E，F两点，试求 $数学公式$ 的取值范围．

解：（Ⅰ）如图，以线段AB的中点为原点，以AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，由已知设椭圆M的方程为 $\text{[math]}$ ，根据定义2a=AC+BC=8，2c=AB=4，b²=a²-c²，b＞0 $\text{[math]}$
∴椭圆M的标准方程 $\text{[math]}$ ．
（Ⅱ）解法一：直线l经过椭圆的中心，设E（x₀，y₀），F（-x₀，-y₀），
则　 $\text{[math]}$
又A（-2，0），B（2，0），
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
由椭圆的性质得-4≤x₀≤4
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ 的取值范围是[-36，-4]．
解法二：由椭圆的性质得 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ．
又A是椭圆M的焦点．点E在椭圆M上 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ 的取值范围是[-36，-4]．
分析：（Ⅰ）以线段AB的中点为原点，以AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，设椭圆M的方程为 $\text{[math]}$ ，由2a=AC+BC=8，2c=AB=4，能导出椭圆M的标准方程．
（Ⅱ）解法一：直线l经过椭圆的中心，设E（x₀，y₀），F（-x₀，-y₀），则　 $\text{[math]}$ ，由A（-2，0），B（2，0）， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，由此能求出 $\text{[math]}$ 的取值范围．
解法二：由椭圆的性质得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．由此能求出 $\text{[math]}$ 的取值范围．
点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，注意合理地进行等价转化．