Question

如图，已知三角形△ABC与△BCD所在平面互相垂直，且∠BAC=∠BCD=90°，AB=AC，CB=CD，点P，Q分别在线段BD，CD上，沿直线PQ将△PQD向上翻折，使D与A重合．
（Ⅰ）求证：AB⊥CQ；
（Ⅱ）求直线AP与平面ACQ所成的角．

Answer 1

分析：（I）由已知中面ABC⊥面BCQ，及=∠BCD=90°，我们根据面面垂直的性质定理，我们易得CQ⊥面ABC，进而根据线面垂直的定义，即可得到AB⊥CQ；
（Ⅱ）以BC的中点O，BD的中点E，如图以OB所在直线为x轴，以OE所在直线为y轴，以OA所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，求出各顶点的坐标，进而求出直线AP的方向向量及平面ACQ的法向量，根据向量法求线面夹角的步骤，即可得到答案．

解答：（I）证明：∵面ABC⊥面BCQ
又CQ⊥BC
∴CQ⊥面ABC
∴CQ⊥AB（5分）
（Ⅱ）解：取BC的中点O，BD的中点E，如图以OB所在直线为x轴，以OE所在直线为y轴，以OA所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．（6分）
不妨设BC=2，则A（0，0，1），D（-1，2，0），P（x，1-x，0），（8分）
由|AP|=|DP|即x²+（1-x）²+1=（x+1）²+（x+1）²，
解得x=0，所以P（0，1，0），（10分）
故

AP

=（0，1，-1）
设

n

=（x，y，z）为平面ACQ的一个法向量，
因为

AC

=（-1，0，-1），

CQ

=λ

OE

=λ（0，1，0）
由

n • AC =0 n • CQ =0

即

-x-z=0 2y=0

所以

n

=（1，0，-1）（12分）
设直线AP与平面ACQ所成的角为α
则Sinα=|cos＜AP，n＞|=

1

2

所以α=

π

6

即直线AP与平面ACQ所成的角为V（14分）

点评：本题考查的知识点是用空间向量求直线与平面的夹角，直线与平面垂直的性质，直线与平面所成的角，熟练掌握空间向量法求线线夹角、线面夹角及两面角的方法步骤是解答此类问题的关键．