Question

【题目】在数列与中，，数列的前n项和满足，为与的等比中项，.

（Ⅰ）求，的值；

（Ⅱ）求数列与的通项公式；

（Ⅲ）设，证明

Answer 1

【答案】（Ⅰ）,（Ⅱ）,（Ⅲ）见解析

【解析】

（Ⅰ）根据得，解得，根据为与的等比中项，得，解得的值；（Ⅱ）根据和项与通项关系得通项递推关系，再根据叠乘法得数列的通项公式，根据等比条件可得，再用数学归纳法得的通项公式；（Ⅲ）根据符号变化规律，分类求和，再比较大小证明不等式.

（Ⅰ）因为，所以，

因为为与的等比中项，

所以

（Ⅱ）

因此

所以

因为，所以，

因为为与的等比中项，

所以

下面用数学归纳法证明

（1）当时，，结论成立，

（2）假设当时，结论成立，即，

当时，结论成立，

综合（1）（2）可得

（Ⅲ）因为，，

所以当时

当时

当时，

当时，

，

当时，

综上.