Question

已知△ABC的三个内角A，B，C，满足sinC=

sinA+sinB

cosA+cosB

．
（1）判断△ABC的形状；
（2）设三边a，b，c成等差数列且S_△ABC=6cm²，求△ABC三边的长．

Answer 1

分析：（1）法1：已知等式右边分子分母利用和差化积公式变形，约分后利用同角三角函数间的基本关系化简，再利用诱导公式变形，得到cosC=0，求出C为直角，即可得到三角形为直角三角形；
法2：利用正弦、余弦定理化简已知等式，整理后利用勾股定理的逆定理即可判断出三角形为直角三角形；
（2）根据勾股定理列出关系式，再由等差数列的性质列出关系式，最后再利用三角形面积公式列出关系式，联立即可求出a，b，c的值．

解答：解：（1）法1：sinC=

2sin A+B 2 cos A-B 2

2cos A+B 2 cos A-B 2

=tan

A+B

2

=

sin(A+B)

1+cos(A+B)

=

sinC

1-cosC

，
∵sinC≠0，∴cosC=0，
∵0°＜C＜180°，∴C=90°，
∴△ABC为直角三角形；
法2：由已知等式变形得：cosA+cosB=

sinA+sinB

sinC

，
∴利用正弦、余弦定理化简得：

b2+c2-a2

2bc

+

c2+a2-b2

2ac

=

a+b

c

，
整理得：（a+b）（c²-a²-b²）=0，
∴a²+b²=c²，
∴△ABC为直角三角形；
（2）由已知得：a²+b²=c²①，a+c=2b②，

1

2

ab=6③，
由②得：c=2b-a，代入①得：a²+b²=（2b-a）²=a²-4ab+4b²，即3b²=4ab，
∴3b=4a，即a=

3

4

b，代入③得：b²=16，
∴b=4cm，a=3cm，c=5cm．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握定理是解本题的关键．