Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），直线l为圆O：x²+y²=b²的一条切线，且经过椭圆的右焦点，记椭圆的离心率为e．
（1）若直线l的倾斜角为

π

6

，求e的值；
（2）是否存在这样的e，使得原点O关于直线l对称的点恰好在椭圆C上？若存在，请求出e的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）求出椭圆的右焦点，进而可设直线方程，利用直线l为圆O：x²+y²=b²的一条切线，可得一方程，利用椭圆的简单性质a²=b²+c²，根据离心率公式即可求出e的值；
（2）假设存在这样的e，使得原点O关于直线l的对称点恰好在椭圆C上，不妨设方程为x-my-c=0，从而利用原点O关于直线的对称点在椭圆上，即可求解．

解答：解：（1）设椭圆的右焦点为（c，0），c=

a2-b2

，则直线的方程为x-

3

y-c=0
∵直线l为圆O：x²+y²=b²的一条切线
∴b=

1

2

c
∴a2=b2+c2=

5

4

c2
∴e=

c

a

=

2

5

5

（2）假设存在这样的e，使得原点O关于直线l的对称点恰好在椭圆C上，不妨设方程为x-my-c=0
∵直线l为圆O：x²+y²=b²的一条切线
∴m2=

c2

b2

-1
设原点O关于直线的对称点O′（x₀，y₀），则x0=

2c

m2+1

，y0=-

2mc

m2+1

∵O′在椭圆上，代入可得

4c 2

a2(m2+1) 2

+

4m 2c 2

b2(m2+1) 2

=1
∴b²=3c²
∴m2=

c2

b2

-1＜0不成立
故不存在这样的e，使得原点O关于直线l的对称点恰好在椭圆C上

点评：本题以椭圆为载体，考查椭圆的离心率，考查对称问题，有一定的综合性．