题目内容

（2009•红桥区二模）某电视台娱乐节目，为了使节目的趣味性、知识性融于一体，采取了答题过关的形式，每位选手最多有5次答题的机会，选手累计答对3题进入过下一关的机会，答错3题则被淘汰，已知选手甲答题的正确率为
23
．
（Ⅰ）求选手甲恰好第一次、第三次、第五次答对题的概率；
（Ⅱ）求选手甲可进入下一关的概率；
（Ⅲ）设选手甲在答题过关时答题的个数为ξ，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．
分析：（Ⅰ）直接根据相互独立事件的概率乘法公式解之即可；
（Ⅱ）由于答对3题者进入下一关，故可分为三类：一类是三题全对；一类是答4题，前3题错一题，第4题答对；一类是答5题，前4题错两题，第5题答对，故可求求选手甲可进入下一关的概率；
（Ⅲ）依题意，ξ的可能取值为3，4，5．利用独立重复试验的概率公式分别求出相应的概率，从而得出ξ的分布列，进而可求概率．
解答：解：（Ⅰ）选手甲恰好第一次、第三次、第五次答对题的概率为(
2
3
)3•(
1
3
)2=
8
243
 …2分
（Ⅱ）选手甲答3道题可进入下一关的概率为(
2
3
)3=
8
27
；  …3分
选手甲答4道题可进入决赛的概率为
C
2
3
(
2
3
)2•
1
3
•
2
3
=
8
27
；…5分
选手甲答5道题可进入决赛的概率为
C
2
4
(
2
3
)2•(
1
3
)2•
2
3
=
16
81
； …7分
∴选手甲可进入决赛的概率P=
8
27
+
8
27
+
16
81
=
64
81
．        …9分
（Ⅲ）依题意，ξ的可能取值为3，4，5．则有
P（ξ=3）=(
2
3
)3+(
1
3
)3=
1
3
，
P（ξ=5）=
C
2
4
(
2
3
)2•(
1
3
)2•
2
3
+
C
2
4
(
2
3
)2•(
1
3
)2•
1
3
=
8
27
，
P（ξ=4）=1-P（ξ=3）-P（ξ=5）=1-
1
3
-
8
27
=
10
27
，…12分
因此，有
ξ 3 4 5
p
1
3
10
27
8
27
∴Eξ=3×
1
3
+4×
10
27
+5×
8
27
=
107
27
．          …14分．
点评：本题的考点是离散型随机变量的期望与方差，主要考查等可能事件的概率，离散型随机变量的分布列和期望，独立重复试验的概率公式，本题是一个综合题目，考查的知识点比较全面，在应用独立重复试验的概率公式时，注意数字运算不要出错．
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