Question

如图，现有一块半径为2m，圆心角为90°的扇形铁皮AOB，欲从其中裁剪出一块内接五边形
ONPQR，使点P在AB弧上，点M，N分别在半径OA和OB上，四边形PMON是矩形，点Q在弧AP上，R点在线段AM上，四边形PQRM是直角梯形．现有如下裁剪方案：先使矩形PMON的面积达到最大，在此前提下，再使直角梯形PQRM的面积也达到最大．
（Ⅰ）设∠BOP=θ，当矩形PMON的面积最大时，求θ的值；
（Ⅱ）求按这种裁剪方法的原材料利用率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设∠BOP=θ，θ∈(0，

π

2

)，则PM=2cosθ，PN=2sinθ，从而S_PMON=PM•PN=2sin2θ，由此可求当矩形PMON的面积最大时，θ的值；
（Ⅱ）过Q点作QS⊥OB，垂足为S，连接OQ，设∠BOQ=α，α∈(

π

4

，

π

2

)，从而可得S梯形PQRM=

1

2

(2cosα+

2

)（2sinα-

2

)=2sinαcosα+

2

（sinα-cosα）-1，利用换元法t=sinα-cosα=

2

sin(α-

π

4

)，可得S梯形PQRM=-t2 +

2

t=-(t-

2

2

)2+

1

2

，从而可求直角梯形PQRM的面积的最大值，由此可求原材料利用率．

解答：解：（Ⅰ）先求矩形PMON面积的最大值：
设∠BOP=θ，θ∈(0，

π

2

)，则PM=2cosθ，PN=2sinθ，
∴S_PMON=PM•PN=2sin2θ，
∴当2θ=

π

2

，即θ=

π

4

时，S_max=2
此时，PM=MO=

2

，θ=

π

4

  …6分
（Ⅱ）过Q点作QS⊥OB，垂足为S，连接OQ，设∠BOQ=α，α∈(

π

4

，

π

2

)
在Rt△QOS中，有QS=2sinα，OS=2cosα，
则RQ=2cosα，RM=2sinα-

2

，
∴S梯形PQRM=

1

2

(2cosα+

2

)（2sinα-

2

)=2sinαcosα+

2

（sinα-cosα）-1                 …8分
令t=sinα-cosα=

2

sin(α-

π

4

)，
∵α∈(

π

4

，

π

2

)，∴t∈（0，1），
此时，2sinαcosα=1-t²，则S梯形PQRM=-t2 +

2

t=-(t-

2

2

)2+

1

2

，
当t=

2

2

时，直角梯形PQRM的面积的最大值为

1

2

                …10分
∴方案裁剪出内接五边形ONPQR的面积最大值为

5

2

m²，即利用率=

2+ 1 2

π

=

5

2π

…12分．

点评：本题考查利用三角知识解决实际问题，解题的关键是引入辅助角，构建三角函数模型，利用三角函数知识进行解决，综合性强．