Question

如图，现有一块半径为2m，圆心角为90°的扇形铁皮AOB，欲从其中裁剪出一块内接五边形
ONPQR，使点P在AB弧上，点M，N分别在半径OA和OB上，四边形PMON是矩形，点Q在弧AP上，R点在线段AM上，四边形PQRM是直角梯形．现有如下裁剪方案：先使矩形PMON的面积达到最大，在此前提下，再使直角梯形PQRM的面积也达到最大．
（Ⅰ）设∠BOP=θ，当矩形PMON的面积最大时，求θ的值；
（Ⅱ）求按这种裁剪方法的原材料利用率．

Answer 1

解：（Ⅰ）先求矩形PMON面积的最大值：
设∠BOP=θ，，则PM=2cosθ，PN=2sinθ，
∴S_PMON=PM•PN=2sin2θ，
∴当2θ=，即θ=时，S_max=2
此时，PM=MO=，θ= …6分
（Ⅱ）过Q点作QS⊥OB，垂足为S，连接OQ，设
在Rt△QOS中，有QS=2sinα，OS=2cosα，
则RQ=2cosα，RM=2sinα，
∴（2sinα=2sinαcosα+（sinα-cosα）-1 …8分
令t=sinα-cosα=，
∵，∴t∈（0，1），
此时，2sinαcosα=1-t²，则=-，
当t=时，直角梯形PQRM的面积的最大值为 …10分
∴方案裁剪出内接五边形ONPQR的面积最大值为m²，即利用率=…12分．
分析：（Ⅰ）设∠BOP=θ，，则PM=2cosθ，PN=2sinθ，从而S_PMON=PM•PN=2sin2θ，由此可求当矩形PMON的面积最大时，θ的值；
（Ⅱ）过Q点作QS⊥OB，垂足为S，连接OQ，设，从而可得（2sinα=2sinαcosα+（sinα-cosα）-1，利用换元法t=sinα-cosα=，可得=-，从而可求直角梯形PQRM的面积的最大值，由此可求原材料利用率．
点评：本题考查利用三角知识解决实际问题，解题的关键是引入辅助角，构建三角函数模型，利用三角函数知识进行解决，综合性强．