Question

4．A、B两城相距100km，在两地之间距A城x km处D地建一核电站给A、B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10km，已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比．比例系数为λ，若A城供电量为10亿度/月，B城为20亿度/月，当x=20km时，A城的月供电费用为1000．
（1）把月供电总费用y表示成x的函数，并求定义域．
（2）核电站建在距A城多远时，才能使用供电总费用最小．

Answer 1

分析 （1）设A、B两城供电费用分别为y₁，y₂，即有y₁=10λx²，y₂=20λ（100-x）²，由x=20，y₁=1000，可得λ，总费用y=y₁+y₂，整理即可；因为核电站距A城xkm，则距B城（100-x）km，由x≥10，且100-x≥10，得x的范围；
（2）因为函数y=7.5x²-1000x+50000是二次函数，由二次函数的性质可得，x=-$\frac{b}{2a}$时，函数y取得最小值．

解答 解：（1）设A、B两城供电费用分别为y₁，y₂，
即有y₁=10λx²，y₂=20λ（100-x）²，
由x=20，y₁=1000，可得λ=0.25，
A城供电费用为y₁=0.25×10x²，B城供电费用y₂=0.25×20（100-x）²；
所以总费用为：y=y₁+y₂=7.5x²-1000x+50000（其中10≤x≤90）；
∵核电站距A城xkm，则距B城（100-x）km，
∴x≥10，且100-x≥10，解得10≤x≤90；
所以定义域是{x|10≤x≤90}．
（2）因为函数y=7.5x²-1000x+50000（其中10≤x≤90），
当x=-$\frac{-1000}{2×7.5}$=$\frac{200}{3}$∈[10，90]时，此函数取得最小值；
所以，核电站建在距A城$\frac{200}{3}$km处，能使A、B两城月供电总费用最小．

点评 本题考查了二次函数模型的应用，二次函数求最值时，通常考虑是否取在对称轴处，属于中档题．