Question

定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）+f（y）=f（xy），且当x＞1时，f（x）＜0，若对任意的x，y∈（0，+∞），不等式恒成立，则实数a的取值范围是________．

Answer 1

分析：先根据条件证明函数f（x）在（0，+∞）上单调性，然后化简不等式，根据 ≥恒成立建立关系式即可．
解答：设x₁＞x₂＞0，则 ＞1
∵f（x）+f（y）=f（xy），
∴f（x）-f（y）=f（ ），
f（x₁）-f（x₂）=f（ ）＜0（x＞1时，f（x）＜0）
∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减函数
∵
∴f（ ）≤f（a ）
即 ≥a
≥≥a
∴a ，又a＞0．
故答案为：
点评：本题主要考查抽象函数的单调性以及不等式的应用，属于中档题，单调性是函数的“局部”性质．