Question

【题目】已知椭圆的左右焦点分别为，若椭圆上一点满足，过点的直线与椭圆交于两点.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作轴的垂线，交椭圆于，求证：存在实数，使得.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）第（1）问，由得到a=2,再把点 的坐标代入椭圆方程，解方程组即得椭圆的方程.(2)第(2)问，设的方程为.

设点，，再求出NG的方程，证明直线过点，即可证明

存在实数，使得.

试题解析：

(1)依题意，，故.

将代入椭圆中，解得，

故椭圆的方程为：.

（2）由题知直线的斜率必存在，设的方程为.

设点，，则，

联立，得.

即，

则，，

由题可得直线方程为，

又∵，.

∴直线方程为，

令，整理得

，

即直线过点.

又∵椭圆的右焦点坐标为，

∴三点，，在同一直线上.

∴ 存在实数，使得 .