Question

在一块倾斜放置的矩形木板上钉着一个形如“等腰三角形”的九行铁钉，钉子之间留有空隙作为通道，自上而下第1行2个铁钉之间有1个空隙，第2行3个铁钉之间有2个空隙…第9行10个铁钉之间有9个空隙（如图所示）．一个玻璃球通过第1行的空隙向下滚动，玻璃球碰到第二行居中的铁钉后以相等的概率滚入第2行的左空隙或右空隙，以后玻璃球按类似方式继续往下滚动，落入第9行的某一个空隙后，最后掉入木板下方的相应槽内．玻璃球落入不同球槽得到不同的分数ξ在图中给出，求Eξ（结果保留两位有效数字）．

Answer 1

分析：本题解决的关键是读懂题意，看清图形从第1行开始，玻璃球从一个空隙往下滚，玻璃球碰到此下方的一个铁钉后以

1

2

的概率落入铁钉左边空隙．同样以

1

2

的概率落入铁钉右边空隙，玻璃球继续往下滚时，总有落入铁钉左边和右边空隙两种结果，直到最后掉入某一个球槽内，一共进行了8次独立重复试验，若设8次独立重复试验中落入铁钉左边空隙的次数为η，则η～B（8，

1

2

），然后计算出相应的概率，计算出数学期望即可．

解答：解：看清图形从第1行开始，玻璃球从一个空隙往下滚，玻璃球碰到此下方的一个铁钉后以

1

2

的概率落入铁钉左边空隙．同样以

1

2

的概率落入铁钉右边空隙，玻璃球继续往下滚时，总有落入铁钉左边和右边空隙两种结果，直到最后掉入某一个球槽内，一共进行了8次独立重复试验，若设8次独立重复试验中落入铁钉左边空隙的次数为η，则η～B（8，

1

2

）．
∵P（ξ=10）=P（η=0或η=8）=P（η=0）+P（η=8）=C₈⁰（

1

2

）⁰（

1

2

）⁸+C₈⁸（

1

2

）⁸（

1

2

）⁰=

1

27

，
P（ξ=8）=P（η=1或η=7）=P（η=1）+P（η=7）=C₈¹（

1

2

）¹（

1

2

）⁷+C₈⁷（

1

2

）⁷（

1

2

）¹=

8

27

，
P（ξ=6）=P（η=2或η=6）=P（η=2）+P（η=6）=C₈²（

1

2

）²（

1

2

）⁶+C⁶₈（

1

2

）⁶（

1

2

）²=

28

27

，
P（ξ=4）=P（η=3或η=5）=P（η=3）+P（η=5）=C³₈（

1

2

）³（

1

2

）⁵+C⁵₈（

1

2

）⁵（

1

2

）³=

56

27

P（ξ=2）=P（η=4）=C⁴₈（

1

2

）⁴（

1

2

）⁴=

35

27

，
∴Eξ=10×

1

27

+8×

8

27

+6×

28

27

+4×

56

27

+2×

35

27

≈4.19．

点评：本题主要考查了离散型随机变量的期望，解题的关键是读懂题意，属于中档题．